面积最大问题

Yang Roy2023-11-112024-02-22

前言

今天无聊翻电脑里文件，发现了小升初的时候初中给布置的的数学作业，也就是下面这篇文章，于是把它贴出来了。(当时对一些概念不太清楚，所以可能有错误)

正文

怎样得到一个面积最大的图形？

题目

一根长40cm的绳子，如果围成封闭图形，假如是直边图形，图形面积最大是多少？如果是曲边图形，图形面积最大是多少？

研究过程

周长相等的情况下。如果要围成面积最大的直边图形，首先可以确定，正n边形的面积大于其他n边形的面积。直边图形有很多，我按照边数从少到多的顺序依次求图形的面积。
首先，我求了周长 $40cm$ 的正方形的面积，按照公式 $S = a²$ ，$(\frac{40}{4}) \times (\frac{40}{4})=100(cm²)$
我又求了正五边形的面积。我从正五边形的中心点到它的每个顶点分割，把它分成5个完全相等的等腰三角形。我又把每个这样的三角形从它的底边中点作线段到正五边形中心点，再次分割，把每个三角形又分割成2个小三角形，一共有10个这样的小三角形，小三角形的底边长为 $ \frac{40}{10}=4(cm)$ 。因为正五边形中心点是一个度数为 $360°$ 的周角，所以每个小三角形靠近正五边形中心点的角的度数是 $36°$ 。三角形的高=$\frac{\frac{8}{2} }{\tan 36° } ≈5.5(cm)$，则一个小三角形面积为 $\frac{\frac{8}{2} \times 5.5}{2}=11(cm²)$ ，所以正五边形面积≈110(cm²)
因为 $110>100$ ，所以，正五边形面积大于正方形面积。我提出猜测：正 $n$ 边形面积大于正 $(n-1)$ 边形面积。
我推算出了正n边形的面积公式。假如有一个正五边形，我把它按照上面的方法平均分成5个大三角形，再把每个大三角形平均分成两个小三角形。设每个大三角形底边中点到正五边形中心点的距离为 $h$，大三角形的两腰为 $k$，小三角形靠近正五边形中心点的角为 $x$，小三角形底为 $d$。$sin x=\frac{d}{r}$，$cos x=\frac{h}{r}$，$d=sin x \times r$，$h=cos x \times r$。一个小三角形面积 $=dh$，$=n \times cos x \times sin x \times r²$。通过 $sin x=\frac{d}{r}$，可知 $r=\frac{d}{sin x} $ 。通过$ cos x=\frac{h}{r}$ ，可知，$h=cos x \times r$，$=cos x \times \frac{d}{sin x}$。则小三角形面积为 $d \times cos x \times \frac{\frac{d}{sinx}}{2} $ ，大三角形面积为 $d \times cos x \times \frac{d}{sin x}$。因为正 $n$ 边形可以分成$n$ 个大三角形，所以正n边形的面积公式是 $S=n \times d \times cos x \times \frac{d}{sin x}$。而根据此题，$d=40 \div n \div 2 $，$=20 \div n$。而 $\frac{20}{n}$ 可以和前面的 $\times n$ 约分，变成 $20$ ，后面的 $d$ 变成$ \frac{20}{n}$ 。所以，此题公式为 $S=20\times cosx \times \frac{\frac{20}{n} }{sinx} $ 。我使用此公式再次验算正五边形面积，最后也是 $110cm²$ 。我又算出正六边形面积大约是 $115cm²$ ，正六边形面积大于正五边形面积。
我根据猜测继续证明。$cos 0°=1$，$cos 60°=1/2$，以此类推……角的度数越大，$cos$ 的值越小。$sin 0°=0$，$sin 90°=1$，$sin 180°=0$，$90°$ 以内，角的度数越大， $sin$ 的值越大。要想让这个图形的面积最大，根据刚才推算的公式$S=20\times cosx \times \frac{\frac{20}{n} }{sinx} $，要想让结果最大，$cos x$ 的值作为因数要最大，而 $sin x$ 的值作为分母要最小。如果 $x=0°$ ，$cos x=1$ ，此时这个图形已经变成了正圆，不符合“直边图形”的题意。如果要面积最大，且是直边图形，$x$ 要无限趋近 $0$ ，但不等于 $0$ ，而
$cos x$ 也要无限趋近 $1$ ，但不等于 $1$ 。
假如这个图形是正 $n$ 边形，则 $n$ 趋近于无限，但不等于无限，所以 $x=\frac{360}{n}$，面积是 $ 20\times cos(\frac{180}{n})\times \frac{\frac{20}{n} }{sin(\frac{180}{n} )} $ cm²。
根据上面得到的结论， $x=0°$ 时面积最大，这时这个图形变成了正圆，面积是 $π\times (\frac{40}{2π})²$ 平方厘米，化简得 $(\frac{400}{π})$ 平方厘米。