3+4=5?————楼梯悖论

啥是楼梯悖论

楼梯悖论

现在有一个 3x4 的楼梯
要算蓝色部分和红色部分长度的总和，则红色部分为 4 ，蓝色部分为 3 ，总和为 7 。
现在将这个楼梯增加到 n 阶，算法不变，结果仍然为 7 。

问题

当 n 无限趋近正无穷时，这些台阶的长度总和仍是 7 。
可是，这时台阶已经趋近于一条直线，根据勾股定理 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，得出 $c=5$。可是有误差可以理解，但 5 和 7的误差也太大了吧？怎么回事？

解决

我们要计算斜边可以这样算：
假设有 n 阶台阶，斜边为：
$
n\times \sqrt{(\frac{3}{n})^2\times (\frac{4}{n})^2}=5
$
也就是说，不管有多少台阶，斜边永远是 5 。

很多人都觉得，这是因为折线和直线之间存在误差。但如果仅仅认识到这一步，总感觉这个问题不能得到很好的解释。比如，在用任意曲线积分求面积时，可以用无穷多的细矩形进行代替，但二者之间也是存在误差的。那为什么积分求面积就成立，而楼梯悖论就不对呢？

问题就在于无限个小误差累积起来会不会变成一个大误差。简单来说，积分求面积时的误差是两个无穷小长度的平方，即二阶无穷小。对它进行一阶无穷多次累加之后，我们得到的仍然是一阶无穷小。而对于所谓的楼梯悖论来说，它的误差是无穷小长度，即一阶无穷小，经过无穷多次累积后就可能变成一个可观的误差，所以折线不能用斜线代替。
如上图所示，误差面积为三角形 $Δs=dx·dy$ 。我们令 $dy=k·dx$ ，其中k为斜率，那么 $Δs=k·dx$ 。因为 $dx=L/n$ ，所以 $Δs=k·(L/n)$ 。那么，把n个小误差累加起来，就得到：
$
S=\sumΔs \leq \sum k_{max}(\frac{L}{n})^2=k_{max}(\frac{L^2}{n})
$
所以，当n趋近于无穷时，总的误差S就趋近于零。
接下来，来看看楼梯悖论的误差。小直角三角形处的长度误差 $ΔL=dx+dy-(dx+dy)^{0.5}$ 。因为 $dy=(\frac{3}{4})\times dx$，我们就有 $ΔL=\frac{dx}{2}$ 。同样， $dx=\frac{4}{n}$ ，所以 $ΔL=\frac{2}{n}$ 。那么，把n个误差累加起来，得到总误差：
$
L=\sum ΔL=n \times \frac{2}{n}=2
$
所以，当n趋近于无穷时，我们不能把折线看成是斜线处理，并且它们之间的差总是等于2。

最后

问题解决，如果有其他做法可以留言。